☛ Déterminer si un point appartient à un plan

Énoncé

L'espace est muni d'un repère orthonormé.
Soit \(P\) un plan dont une équation cartésienne est  \(6x+y-3z+7=0\) .

1. Déterminer les coordonnées d'un vecteur normal  \(\overrightarrow{n}\)  au plan  \(P\) .

2. Le point  \(\text A(-1~;~2~;~1)\)  appartient-il au plan \(P\) ? Le point  \(\text B(1~;-2~;~3)\)  appartient-il au plan \(P\)   ?

Solution

1.  \(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 6\\1\\-3\\ \end{pmatrix}\) est un vecteur normal  \(\overrightarrow{n}\)  au plan  \(P\) .

2.  \(6\times (-1)+2+(-3)\times 1+7=-6+2-3+7=-9+9=0\) . Donc  \(\text A\in P\) .

\(6\times 1-2-3\times 3+7=6-2-9+7=2\neq 0\) . Donc  \(\text B\notin P\) .